LeetCode.070.Climbing Stairs 爬楼梯

题目描述

70 Climbing Stairs https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/ 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

相似题目

LeetCode.070.Climbing Stairs 爬楼梯 509 Fibonacci Number https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/

解题过程

动态规划

dp[i] 表示爬 i 层台阶的方法数，则有递推公式 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 因为对于第 i 层台阶，我们可以从第 i-1 层台阶爬 1 层，或者从第 i-2 层台阶一次爬 2 层到达，所以爬 i-1 层台阶的方法数和爬 i-2 层台阶的方法数的总和就是爬 i 层台阶的方法数。 初始条件为 dp[0] = 1，dp[1] = 1

为什么 dp[0] 是 0？ 这是倒推出来的，我们计算知道爬 1 层台阶的方法数是 1，爬 2 层台阶的方法数是 2，所以为了满足 dp[2] = dp[1] + dp[0] 可以推出 dp[0] = 1，代表的含义是爬 0 层台阶的方法数是 1，也可以理解。

由于 dp[i] 的值只依赖 dp[i-1] 和 dp[i-2]，可以使用 滚动数组 的思想优化空间复杂度到 O(1)

时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)

private static class SolutionV202006 {
    public int climbStairs(int n) {
        // dp[i] 表示爬 i 阶台阶的方法数，则 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2], dp[0] = 1, dp[1] = 1
        int prePre = 1;
        int pre = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int newPre = prePre + pre;
            prePre = pre;
            pre = newPre;
        }
        return pre;
    }
}

矩阵快速幂

斐波那契数列通项公式

这是一个斐波那契数列，斐波那契数列的第 n 项直接有通项公式可以算出来 $$ f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] $$

斐波那契数列第n项的计算方法

LeetCode.070.Climbing Stairs 爬楼梯 的官方题解最后总结了斐波那契数列的计算方法： https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/

GitHub代码

algorithms/leetcode/leetcode/_070_ClimbingStairs.java https://github.com/masikkk/algorithms/blob/master/leetcode/leetcode/_070_ClimbingStairs.java